VL Algebra und Zahlentheorie und ihre Didaktik SoSe 2017

Die Vorlesung behandelt unter anderem die Grundlagen der elementaren Zahlentheorie, den systematischen Aufbau der Zahlbereiche (natürliche Zahlen -> komplexe Zahlen), Ringtheorie am Beispiel der ganzen Zahlen, insbesondere Restklassenringe, und die geometrische Motivation zur Körpertheorie.

Weitere Angaben finden Sie hier: Modul 8 Lehramt

Die elementare Zahlentheorie befasst sich mit

1.  der Theorie der Primzahlen (Auffinden solcher, Verteilungen und der Zerlegung von natürlichen Zahlen durch Primzahlen),
2. dem Finden von rationalen Punkten auf Kurven, die durch Gleichungen, wie zum Beispiel X^7+aX+b, definiert werden (a und b ganz),

Um sich solchen Problemen nähern zu können, bedient sich die elementare Zahlentheorie Konzepten wie zum Beispiel:

• den Restklassen, eine Verallgemeinerung der Uhr, um die Lösbarkeit von Gleichungen zu testen,

• der Teilbarkeiten und

• des euklidischen Algorithmus.

Erweitert man den Bereich der ganzen Zahlen indem man Wurzeln hinzunimmt so begegnen wir der algebraischen Zahlentheorie. Diese Ringe, zum Beispiel Z[sqrt(5)], ermöglichen es, Gleichungen in "kleinste" Faktoren zu zerlegen, um so zum Beispiel quadratische Gleichungen in mehreren Variablen mit ganzzahligen Koeffizienten zu lösen. 

Eine weitere Anwendung ist die Lösung  geometrischer Probleme, durch vorhergehende Umformulierung in ein algebraisches Problem, wie zum Beispiel die Dreiteilung eines Winkels mittels Zirkel und Lineal. 

Diese Umformulierung hat den Vorteil, dass man die Operationen mit Zirkel und Lineal durch algebraische Operationen ersetzen kann, welche dann unter Umständen das Problem vereinfachen.

Die Schönheit der Zahlentheorie zeigt sich darin, dass viele recht leicht zu formulierende Sätze doch recht  tiefgründige Beweise erfordern (Großer Satz von Fermat). Es gibt zwar Adhoc-Methoden, wie zum Beispiel die vollständige Induktion oder den Widerspruch durch unendlichen Abstieg, um einen Beweis zu beginnen, aber zumeist reicht dies nicht aus, da die Natur der natürlichen Zahlen für ein Problem einen eleganten Beweis erfordert.

Als letztes Beispiel sei die Goldbachsche Vermutung erwähnt, deren Formulierung äußerst einfach ist: "Jede gerade natürliche Zahl größer als 3 ist Summe zweier Primzahlen.", die aber bis heute unbewiesen ist.

Übungsblätter: Blatt 1 Blatt 2 Blatt 3 Blatt 4 Blatt 5 Blatt 6 Blatt 7

Blatt 8 Blatt 9 Blatt 10 Blatt 11 Probeklausur (Eine Aufgabe ist zwischen 10 und 15 Punkte wert.)

Musterlösungen: Lösung 1Lösung 2 Lösung 3 (mit Ergänzung zur VL) Lösung 4

Lösung 5 Lösung 6 Lösung 7 Lösung 8 Lösung 9 Lösung 10 Lösung 11

Weitere Notizen: handschriftliches Skript zur Vorlesung

Nachklausur am 18.9.2017:

Die Klausureinsicht findet am 25.9.2017 von 15 bis 16 Uhr statt.